Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AD\parallel BC$; $AD=2BC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,CD$.
1. Chứng minh $BC\parallel (SAD)$
2. Chứng minh $MN\parallel (SAC)$.
3. Gọi $K$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho $KB=2KS$. Tìm giao điểm $I$ của $SA$ và $(MNK)$.
4. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $CDM$. Chứng minh $KG\parallel SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 20. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình thang $AD\parallel BC$, $AD=2BC$; $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,CD$.

1) Chứng minh $BC\parallel (SAD)$:
Vì đáy là hình thang nên $BC\parallel AD$. Mà $AD\subset (SAD)$ và $BC\not\subset (SAD)$. Theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, suy ra $BC\parallel (SAD)$.

2) Chứng minh $MN\parallel (SAC)$:
Xét tam giác $DAC$: $M$ là trung điểm $AD$, $N$ là trung điểm $DC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $DAC$. Suy ra $MN\parallel AC$. Mà $AC\subset (SAC)$ và $MN\not\subset (SAC)$, suy ra $MN\parallel (SAC)$.

3) Tìm giao điểm $I$ của $SA$ và $(MNK)$, với $K\in SB$, $KB=2KS$:
- Trong mặt phẳng đáy, gọi $P=MN\cap AB$. Vì $P\in MN\subset (MNK)$ và $P\in AB\subset (SAB)$ nên $P\in (MNK)\cap (SAB)$.
- Tỉ số: do $MN\parallel AC$, xét tam giác $ABC$ với đường thẳng qua $M$ song song $AC$ (chính là $MN$) cắt $AB$ tại $P$, theo Thales ta được $\frac{PA}{PB}=\frac{DM}{DA}=\frac{1}{2}$ (vì $DM=AD/2=BC$), tức $PA=AB$ và $A$ nằm giữa $P,B$ ($P$ nằm ngoài đoạn $AB$, đối diện qua $A$). Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=(0,0)$, $D=(2,0)$, $M=(1,0)$, $B=(b,h)$, $C=(b+1,h)$, $N=((3+b)/2,h/2)$; phương trình $MN$ gặp đường $AB$ tại điểm $P=(-b,-h)=-B$, đúng là $A$ là trung điểm $PB$.
- Trong mặt phẳng $(SAB)$: tam giác $SAB$ có $P$ thuộc đường thẳng $AB$ (ngoài đoạn $AB$), $K$ thuộc cạnh $SB$ với $\frac{BK}{KS}=2$. Ba điểm $P,K,I$ thẳng hàng, áp dụng Menelaus:
$$\frac{PA}{PB}\cdot \frac{BK}{KS}\cdot \frac{SI}{IA}=1\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{SI}{IA}=1\Rightarrow SI=IA.$$
Vậy $I$ là trung điểm của $SA$ (kiểm tra tọa độ: với $S=(s,t,u)$, giao điểm của đường thẳng $PK$ với $SA$ là $I=\frac{1}{2}S$, đúng trung điểm $SA$). Vậy $I$ là trung điểm $SA$ và $I=SA\cap (MNK)$.

4) Chứng minh $KG\parallel SD$, với $G$ là trọng tâm tam giác $CDM$:
- Vì $M$ là trung điểm $AD$ nên $DM=\frac{AD}{2}=BC$, mà $DM\parallel BC$ nên tứ giác $BCDM$ là hình bình hành.
- Suy ra hai đường chéo $BD$ và $CM$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường; nói riêng $O$ là trung điểm của $CM$ và của $BD$.
- $G$ là trọng tâm tam giác $CDM$ nên $G$ thuộc trung tuyến $DO$ của tam giác $DCM$, do đó $DG=\frac{2}{3}DO=\frac{1}{3}DB$ (vì $DO=DB/2$).
- Xét tam giác $SBD$: $K$ thuộc $SB$ với $\frac{SK}{SB}=\frac{1}{3}$ (vì $KB=2KS\Rightarrow SB=3KS$), $G$ thuộc $DB$ với $\frac{DG}{DB}=\frac{1}{3}$.
- Theo định lí Thales (đảo): $\frac{SK}{SB}=\frac{DG}{DB}=\frac{1}{3}$ nên $KG\parallel SD$ (và $KG=SD/3$).
Vậy $KG\parallel SD$. (Kiểm tra bằng tọa độ: $\overrightarrow{KG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{SD}$, đúng.)