Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=7\\ u_5-u_2=14\end{array}$.
1. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ 2. Tìm $u_4$. 3. Tính $S_{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Gọi cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q\ne 0$. Ta có $u_2=u_{1}q$, $u_3=u_1{q}^2$, $u_5=u_1{q}^4$. Hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1(1+q+q^2)=7(1)\\ u_1(q^4-q)=14(2)\end{array}$$
Vì $1+q+q^2>0$ với mọi $q$ nên $u_1\ne 0$. Chia $(2)$ cho $(1)$:
$$\frac{q^4-q}{1+q+q^2}=2\iff \frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2+q+1}=2\iff q(q-1)=2\iff q^2-q-2=0\iff [<table><tbody><tr><td>q=2</td></tr><tr><td>q=-1</td></tr></tbody></table>$$

TH1: $q=2$. Thay vào $(1)$: $u_1(1+2+4)=7\Rightarrow u_1=1$.
- $u_4=u_1{q}^3=1\cdot 8=8$.
- $S_{20}=u_1\cdot \frac{q^{20}-1}{q-1}=\frac{2^{20}-1}{1}=2^{20}-1=1048575$.

TH2: $q=-1$. Thay vào $(1)$: $u_1(1-1+1)=7\Rightarrow u_1=7$.
- $u_4=u_1{q}^3=7\cdot (-1)=-7$.
- $S_{20}=u_1\cdot \frac{1-q^{20}}{1-q}=7\cdot \frac{1-(-1{)}^{20}}{1-(-1)}=7\cdot \frac{1-1}{2}=0$.

Thử lại: với $u_1=7,q=-1$: $u_1+u_2+u_3=7-7+7=7$ ✓; $u_5-u_2=7-(-7)=14$ ✓. Với $u_1=1,q=2$: $1+2+4=7$ ✓; $16-2=14$ ✓.

Vậy bài toán có hai nghiệm: $(u_1,q)=(1;2)$ với $u_4=8$, $S_{20}=2^{20}-1=1048575$; hoặc $(u_1,q)=(7;-1)$ với $u_4=-7$, $S_{20}=0$. (Nếu đề yêu cầu cấp số nhân tăng thì chọn $q=2$, $u_1=1$.)