Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=7\\ u_5-u_2=14\end{array}$.
1. Tìm số hàng đầu $u_1$ và công bội $q$ 2. Tìm $u_4$. 3. Tính $S_{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12. Vì $(u_n)$ là cấp số nhân công bội $q\ne 0$ nên $u_n=u_1{q}^{n-1}$.

1) Hệ phương trình trở thành:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1(1+q+q^2)=7\\ u_1(q^4-q)=14\end{array}$$
Chia từng vế hai phương trình (vì $u_1\ne 0$, $q\ne 0$):
$$\frac{q^4-q}{1+q+q^2}=2\Rightarrow \frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2+q+1}=2\Rightarrow q(q-1)=2$$
$$\Rightarrow q^2-q-2=0\Rightarrow q=2\text{ hoặc }q=-1.$$
- Với $q=2$: $u_1(1+2+4)=7\Rightarrow u_1=1$.
- Với $q=-1$: $u_1(1-1+1)=7\Rightarrow u_1=7$. Kiểm tra: $u_5-u_2=7(1)-7(-1)=14$ ✓.

Vậy cấp số nhân có hai khả năng: $u_1=1,q=2$ hoặc $u_1=7,q=-1$.

2) Số hạng $u_4=u_1{q}^3$:
- Với $u_1=1,q=2$: $u_4=1\cdot 2^3=8$.
- Với $u_1=7,q=-1$: $u_4=7\cdot (-1{)}^3=-7$.

3) Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$ với $q\ne 1$.
- Với $u_1=1,q=2$: $S_{20}=\frac{2^{20}-1}{2-1}=2^{20}-1=1048575$.
- Với $u_1=7,q=-1$: $S_{20}=7\cdot \frac{1-(-1{)}^{20}}{1-(-1)}=7\cdot \frac{1-1}{2}=0$ (tổng của số chẵn các số hạng xen kẽ $7,-7,\dots$ bằng 0).