Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_1=2$ và $u_n=\sqrt{2+u_{n-1}^2}$ với mọi $n\ge 2$. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát $u_n$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=2$. Với $n\ge 2$, do $u_{n-1}^2\ge 0$ nên $u_n=\sqrt{2+u_{n-1}^2}>0$, do đó mọi số hạng đều dương và có thể bình phương hai vế: $u_n^2=2+u_{n-1}^2$.

Tính năm số hạng đầu:
- $u_1=2=\sqrt{4}$
- $u_2=\sqrt{2+u_1^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}$
- $u_3=\sqrt{2+u_2^2}=\sqrt{2+6}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
- $u_4=\sqrt{2+u_3^2}=\sqrt{2+8}=\sqrt{10}$
- $u_5=\sqrt{2+u_4^2}=\sqrt{2+10}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Nhận xét: $u_1^2=4$, $u_2^2=6$, $u_3^2=8$, $u_4^2=10$, $u_5^2=12$, tức $u_n^2=2n+2$ (cấp số cộng với số hạng đầu 4, công sai 2). Vì mọi $u_n>0$ nên dự đoán công thức tổng quát:
$$u_n=\sqrt{2n+2}.$$

Kiểm chứng bằng quy nạp: với $n=1$, $u_1=\sqrt{4}=2$ đúng. Giả sử $u_{n-1}=\sqrt{2(n-1)+2}=\sqrt{2n}$, khi đó $u_n=\sqrt{2+u_{n-1}^2}=\sqrt{2+2n}=\sqrt{2n+2}$, đúng đẳng thức. Vậy $u_n=\sqrt{2n+2}$ với mọi $n\ge 1$.