Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát là $u_n=2-9n$.
1. Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng. Tìm công sai của cấp số cộng trên.
2. Tính $u_1+u_2+\dots +u_{50}$.
3. Tính $S=u_{15}+u_{16}+\dots +u_{45}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $u_n=2-9n$.

1) Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_{n+1}-u_n=\left[2-9(n+1)\right]-(2-9n)=-9$ (không phụ thuộc $n$). Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-9$.

2) $u_1=2-9=-7$. Tổng 50 số hạng đầu:
$$u_1+u_2+\dots +u_{50}=\frac{50}{2}\left[2u_1+49d\right]=25\left[2(-7)+49(-9)\right]=25(-14-441)=25\cdot (-455)=-11375.$$

3) $u_{15}=2-9\cdot 15=-133$; $u_{45}=2-9\cdot 45=-403$. Dãy từ $u_{15}$ đến $u_{45}$ có $45-15+1=31$ số hạng và cũng là cấp số cộng công sai $-9$, nên:
$$S=\frac{31}{2}(u_{15}+u_{45})=\frac{31}{2}(-133-403)=\frac{31}{2}(-536)=31\cdot (-268)=-8308.$$

Vậy: công sai $d=-9$; $u_1+\dots +u_{50}=-11375$; $S=-8308$.