Cho dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ xác định bởi $u_n=\frac{n+1}{3n}$, $v_1=\frac{1}{3}$, $v_{n+1}=u_n{v}_n$, với mọi $n\ge 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n+1}{3n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3n}$.
a) Giải $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}\Rightarrow 101(n+1)=99n\Rightarrow n=-\frac{101}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy khẳng định a) SAI.
b) $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{3n(n+1)}$ không phải hằng số; ví dụ $u_2-u_1=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$ còn $u_4-u_3=\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$, khác nhau. Vậy $(u_n)$ không là cấp số cộng, khẳng định b) SAI.
c) $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+2}{3(n+1)}\cdot \frac{3n}{n+1}=\frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}$ không phải hằng số (ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{4}\ne \frac{u_3}{u_2}=\frac{8}{9}$). Vậy $(u_n)$ không là cấp số nhân, khẳng định c) SAI.
d) Với $n\ge 2$: $v_n=v_1\cdot u_1{u}_2\cdots u_{n-1}=\frac{1}{3}\cdot \prod _{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{3k}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{3^{n-1}}=\frac{n}{3^n}$ (công thức đúng cả với $n=1$). Do đó $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$ và $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{10}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-3^{-10}}{2}=\frac{29524}{59049}$. Vậy khẳng định d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}$ cho $n=-\frac{101}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $\frac{33}{101}$ không là số hạng của dãy.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{3n(n+1)}$ không phải hằng số: $u_2-u_1=-\frac{1}{6}$ còn $u_4-u_3=\frac{1}{12}$, khác nhau. Vậy $(u_n)$ không là cấp số cộng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}$ không phải hằng số (ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{4}\ne \frac{u_3}{u_2}=\frac{8}{9}$), nên không là cấp số nhân.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$v_n=\frac{1}{3}{\prod }_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{3k}=\frac{n}{3^n}$, nên $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$ và $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{1-3^{-10}}{2}=\frac{29524}{59049}$.