Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=9$ và $u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh $(u_n)$ là một dãy số tăng.

b) Xét dãy số $(v_n)$ xác định bởi $v_n=\frac{1}{u_1+1}+\frac{1}{u_2+1}+\dots +\frac{1}{u_n+1}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2+1}{2}-u_n=\frac{(u_n-1{)}^2}{2}$. Với $n=1$: $u_1=9>1$ nên $u_2>u_1$. Quy nạp: nếu $u_n\ge 9>1$ thì $(u_n-1{)}^2>0$ nên $u_{n+1}>u_n$, và $u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{2}>\frac{81+1}{2}>9$. Vậy $(u_n)$ dãy tăng, thực ra tăng ngặt. (Kiểm tra: $u_2=(81+1)/2=41>9$ đúng.)

b) Khóa biến đổi: từ $u_{n+1}-1=\frac{u_n^2-1}{2}=\frac{(u_n-1)(u_n+1)}{2}$, ta có
$$\frac{1}{u_n-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}=\frac{u_{n+1}-u_n}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}=\frac{(u_n-1{)}^2/2}{(u_n-1)\cdot (u_n-1)(u_n+1)/2}=\frac{1}{u_n+1}.$$
Do đó tổng telescoping:
$$v_n=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1}\right)=\frac{1}{u_1-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}=\frac{1}{8}-\frac{1}{u_{n+1}-1}.$$
Dãy $(u_n)$ tăng và không bị chặn trên: nếu bị chặn trên thì tồn tại $\lim u_n=L\ge 9$ thỏa $L=\frac{L^2+1}{2}$, tức $(L-1{)}^2=0\Rightarrow L=1$, mâu thuẫn với $L\ge 9$. Vậy $u_{n+1}\to +\infty$, suyra $\frac{1}{u_{n+1}-1}\to 0$.

Kết luận: $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và $\lim v_n=\frac{1}{8}$. (Kiểm tra số học: $u_1=9,u_2=41,u_3=841$; $v_3=\frac{1}{10}+\frac{1}{42}+\frac{1}{842}\approx 0.12488$, tiến tới $0.125$ đúng.)