Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=9$ và $u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh $(u_n)$ là một dãy số tăng.

b) Xét dãy số $(v_n)$ xác định bởi $v_n=\frac{1}{u_1+1}+\frac{1}{u_2+1}+\dots +\frac{1}{u_n+1}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 2026 thỏa mãn: $P(x)$ không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng nếu $r$ là một nghiệm thực của $P(x)$ thì $5r+8$ không là nghiệm của $P(x)$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC<BC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $CD$ là đường kính của đường tròn $(O)$. Đường thẳng đối xứng với đường thẳng $BA$ qua đường thẳng $BD$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $E$. Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABE$ tại điểm thứ hai $F$.

a) Chứng minh tam giác $FBC$ là một tam giác cân.

b) Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $BD$ và đường thẳng $EA$, $I$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và đường thẳng $EB$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $HI$ và đường thẳng $AB$, $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$. Tia đối của tia $OJ$ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác $CDK$ tại điểm $L$. Chứng minh $OL=2OJ$.

Cho tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;2025\}$ gồm 2025 số nguyên dương đầu tiên. Xét một tập con $M$ của tập hợp $S$ có nhiều hơn một phần tử thỏa mãn: với mỗi $a,b\in M$, nếu $2b-a\in S$ thì $2b-a\in M$.

Gọi $k$ là số phần tử của tập hợp $M$. Chứng minh tồn tại $k$ tập hợp $A_1,A_2,\dots ,A_k$ là các tập con của tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) ${\bigcup }_{i=1}^k{A}_i=\mathbb{N}$ và $A_i\cap A_j=\varnothing ,\forall i,j\in \{1;2;\dots ;k\},i\ne j$.

ii) Với mỗi $a,b\in M$, tồn tại $i,j\in \{1;2;\dots ;k\}$ sao cho $\{a+x\mid x\in A_i\}=\{b+y\mid y\in A_j\}$.