Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi: $x_0=0,x_1=1$ và $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb{N}$.

a) Chứng minh rằng biểu thức $\frac{x_{2n}}{x_n}$ là một số nguyên với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $21x_n^2+4$ là một số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.

b) Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 0$ sao cho biểu thức $B_n=21x_n^2+3$ là một số nguyên tố.

Đặt $\alpha =\frac{5+\sqrt{21}}{2}$, $\beta =\frac{5-\sqrt{21}}{2}$, ta có $\alpha +\beta =5$, $\alpha \beta =1$ và $\alpha -\beta =\sqrt{21}$ và $x_n=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }$, $\forall n\in \mathbb{N}$.
Đặt $y_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ thì $y_0=2$, $y_1=5$ và $y_{n+2}=5y_{n+1}-y_n$, $\forall n\in \mathbb{N}$ nên $y_n\in \mathbb{Z}$ với mọi $n\in \mathbb{N}$.

a) Với $n\ge 1$, có $x_{2n}=\frac{{\alpha }^{2n}-{\beta }^{2n}}{\alpha -\beta }=x_n({\alpha }^n+{\beta }^n)=x_n{y}_n$ nên $\frac{x_{2n}}{x_n}=y_n\in \mathbb{Z}$.
Đồng thời $y_n^2-21x_n^2=({\alpha }^n+{\beta }^n{)}^2-({\alpha }^n-{\beta }^n{)}^2=4(\alpha \beta {)}^n=4$.
Vậy $21x_n^2+4=y_n^2$ là một số chính phương với mọi $n\in \mathbb{N}$.

b) Ta có $B_n=21x_n^2+3=y_n^2-1=(y_n-1)(y_n+1)$. Với $n=0$, ta có $B_0=3$, là số nguyên tố.
Với $n\ge 1$, do $\beta ={\alpha }^{-1}$ và $\alpha >1$, ta có $y_n={\alpha }^n+{\alpha }^{-n}\ge \alpha +{\alpha }^{-1}=5$.
Vì vậy cả hai thừa số $y_n-1$ và $y_n+1$ đều lớn hơn 1. Khi đó $B_n$ là hợp số.
Vậy $n=0$ là giá trị duy nhất sao cho $B_n$ là số nguyên tố.