Cho điểm $M(3;1)$, đường thẳng $(d)$ đi qua $M(3;1)$ và cắt $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A(a;0)$, $B(0;b)$ với $a,b>0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ sao cho $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$ nhỏ nhất là

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ cắt hai trục tại $A(a;0)$, $B(0;b)$ với $a,b>0$ nên có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $(d)$ đi qua $M(3;1)$ nên $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz cho hai bộ $(\frac{1}{a};\frac{1}{b})$ và $(3;1)$:
$${\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)}^2\le \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)(3^2+1^2)=10\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right).$$
Do đó $1\le 10\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)$, tức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{1}{10}$.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{1/a}{3}=\frac{1/b}{1}$, tức $\frac{1}{a}=3k,\frac{1}{b}=k$. Thay vào ràng buộc: $9k+k=1\Rightarrow k=\frac{1}{10}$, suy ra $a=\frac{10}{3},b=10$ (thỏa $a,b>0$).

Khi đó $(d)$: $\frac{3x}{10}+\frac{y}{10}=1\iff 3x+y-10=0$. Kiểm tra: $M(3;1)$: $9+1-10=0$ đúng; $A(10/3;0)$, $B(0;10)$ đều dương. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 17: B).