Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\sin \alpha <0$, $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$.
a) $y=2{\sin }^{2}x-\sin 2x-1+\sin \alpha =-\cos 2x-\sin 2x-\frac{12}{13}=-\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{12}{13}$. Giá trị nhỏ nhất của $y$ là $-\sqrt{2}-\frac{12}{13}$, khác $\frac{14}{13}$. Sai.
b) Phương trình $\sin x=\sin \alpha =-\frac{12}{13}$ với $-1<-\frac{12}{13}<0$. Trên khoảng $(0;2\pi )$, đường thẳng $y=-\frac{12}{13}$ cắt đồ thị hàm số $y=\sin x$ tại đúng 2 điểm, cụ thể là $x=\alpha$ và $x=3\pi -\alpha$. Đúng.
c) $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=-\frac{119}{169}$, $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{120}{169}$. Khi đó $$\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos 2\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\alpha =-\frac{119+120\sqrt{3}}{338}<0.$$ Sai.
d) $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$. Đúng.
a) $y=2{\sin }^{2}x-\sin 2x-1+\sin \alpha =-\cos 2x-\sin 2x-\frac{12}{13}=-\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{12}{13}$. Giá trị nhỏ nhất của $y$ là $-\sqrt{2}-\frac{12}{13}$, khác $\frac{14}{13}$. Sai.
b) Phương trình $\sin x=\sin \alpha =-\frac{12}{13}$ với $-1<-\frac{12}{13}<0$. Trên khoảng $(0;2\pi )$, đường thẳng $y=-\frac{12}{13}$ cắt đồ thị hàm số $y=\sin x$ tại đúng 2 điểm, cụ thể là $x=\alpha$ và $x=3\pi -\alpha$. Đúng.
c) $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=-\frac{119}{169}$, $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{120}{169}$. Khi đó $$\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos 2\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\alpha =-\frac{119+120\sqrt{3}}{338}<0.$$ Sai.
d) Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\sin \alpha <0$, $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$. Đúng.