Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ sao cho $f(0)=2$ và hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị trong hình vẽ bên. Xác định số điểm cực trị của hàm số $y=|4f(x-2)+x^2-4x|$.

[IMAGE_1]

Các điểm $A(-2;1),O(0;0),B(4;-2)$ đều nằm trên đường thẳng $d:y=-\frac{1}{2}x$. Đặt $g(x)=4f(x-2)+x^2-4x\Rightarrow g^{\prime }(x)=4f^{\prime }(x-2)+2(x-2)=0\iff f^{\prime }(x-2)=-\frac{x-2}{2}\iff x\in \{0;2;6\}$.

[IMAGE_1]

Bảng biến thiên hàm số $g(x)$:

[IMAGE_2]

Ta có $g(2)=4f(0)-4=4>0$, $S_1={\int }_{-2}^0|f^{\prime }(x)|dx<2\Rightarrow f(0)-f(-2)<2\Rightarrow f(-2)>0\Rightarrow g(0)=4f(-2)>0$, và $S_2={\int }_0^4|f^{\prime }(x)|dx>6\Rightarrow f(0)-f(4)>6\Rightarrow f(4)<-4\Rightarrow g(6)=4f(4)+12<0$. Suy ra $g(x)$ có $3$ điểm cực trị và cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt nên hàm số $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị.