Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (hàm bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>2$):
a) Trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến → Sai.
b) $f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$ nên $f(x)$ có ba điểm cực trị (cực đại tại $x=\pm 2$, cực tiểu tại $x=0$) → Đúng.
c) Trên đoạn $[-2;2]$: $f$ nghịch biến trên $(-2;0)$ và đồng biến trên $(0;2)$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$, tức ${\min }_{[-2;2]}f=f(0)$ → Đúng.
d) Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$ nên $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Điểm $x=0$ là điểm cực tiểu với $f(0)>0$, còn $x=\pm 2$ là các điểm cực đại với $f(\pm 2)>f(0)>0$. Do đó $f(x)>0$ trên $[-2;2]$ và phương trình $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt (một nghiệm trên $(-\infty ;-2)$ và một nghiệm trên $(2;+\infty )$), không thể có tới 3 nghiệm phân biệt → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 0105, Phần II Câu 2, trang 17): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=-2,0,2$ nên $f(x)$ có ba điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f$ nghịch biến trên $(-2;0)$, đồng biến trên $(0;2)$ nên GTNN trên $[-2;2]$ là $f(0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$ nên $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Điểm $x=0$ là điểm cực tiểu với $f(0)>0$, còn $x=\pm 2$ là các điểm cực đại với $f(\pm 2)>f(0)>0$. Do đó $f(x)>0$ trên $[-2;2]$ và $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt (một nghiệm trên $(-\infty ;-2)$ và một nghiệm trên $(2;+\infty )$), không thể có tới 3 nghiệm phân biệt → Sai.