Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.
a) Sai: điều kiện $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$.
b) Sai: $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, khác với $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$.
c) Đúng: $y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$. Trên $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến); $(-2;-1)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); $(-1;0)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); $(0;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Giới hạn: ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. Cực đại tại $x=-2$ với $y(-2)=\frac{4-2+1}{-1}=-3$; cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=1$. Bảng biến thiên khớp hoàn toàn với bảng trong đề (trang 11).
d) Đúng: hai điểm cực trị là $(-2;-3)$ và $(0;1)$, khoảng cách $=\sqrt{(0+2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
Đối chiếu đáp án nguồn trang 17, mã đề 0105, Phần II Câu 3: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập. Hai 'errors' ghi trong payload không phải mâu thuẫn thực: bảng đáp án trang 17 cho a) là S (không phải Đ), và bảng biến thiên cho thấy $-3$ là giá trị cực đại tại $x=-2$ (giải thích tổng thể đã ghi đúng 'cực đại').
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $x=-1$ làm mẫu bằng 0, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}=0$ tại $x=-2,x=0$; đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$; cực đại $y(-2)=-3$, cực tiểu $y(0)=1$; tiệm cận đứng $x=-1$ — khớp bảng biến thiên trong đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: hai cực trị $(-2;-3)$ và $(0;1)$, khoảng cách $\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.