Cho hàm số $f:[0;1]\to [-2026;2026]$ thỏa mãn $$f(x)=-\sqrt{1-x}\cdot f\left(\sqrt{(1-x{)}^3}\right),\forall x\in [0;1].$$

a) Xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức $u_0=a\in (0;1)$ và $u_{n+1}=\sqrt{(1-u_n{)}^3}$. Chứng minh rằng, $u_n\in (0;1)$ và $$f(a)=(-1{)}^n\cdot \sqrt[3]{u_1{u}_2\dots u_n}\cdot f(u_n)$$ với mọi số nguyên dương $n$.

b) Chứng minh rằng, $f(x)=0$ với mọi $x\in [0;1]$.

a) Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $u_n\in (0;1)$ bằng phương pháp quy nạp. Rõ ràng, $u_0=a\in (0;1)$. Giả sử, $u_n\in (0;1)$ với số tự nhiên $n\ge 0$. Ta có, $$0<u_n<1\Rightarrow 0<1-u_n<1\Rightarrow 0<(1-u_n{)}^3<1.$$ Do đó, $u_{n+1}=\sqrt{(1-u_n{)}^3}\in (0;1)$. Vậy theo nguyên lý quy nạp, $u_n\in (0;1)$ với mọi $n\ge 0$.

Cuối cùng, ta chứng minh hệ thức $f(a)=(-1{)}^n\cdot \sqrt[3]{u_1{u}_2\dots u_n}\cdot f(u_n)$ với mọi số nguyên dương $n$. Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có, $$(u_n{)}^{\frac{2}{3}}=1-u_{n-1}\Rightarrow \sqrt{1-u_{n-1}}=\sqrt[3]{u_n},$$ với mọi $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Mặt khác, $$f(u_{n-1})=-\sqrt{1-u_{n-1}}\cdot f\left(\sqrt{(1-u_{n-1}{)}^3}\right)=-\sqrt[3]{u_n}\cdot f(u_n),$$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$. Khi đó,

$$f(a)=f(u_0)=-\sqrt[3]{u_1}\cdot f(u_1)$$
$$=\left(-\sqrt[3]{u_1}\right)\cdot \left(-\sqrt[3]{u_2}\right)\cdot f(u_2)=(-1{)}^2\sqrt[3]{u_1{u}_2}\cdot f(u_2)$$
$$\dots$$
$$=(-1{)}^n\sqrt[3]{u_1{u}_2\dots u_n}\cdot f(u_n)$$

với mọi $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

b) Rõ ràng, $f(1)=0$, dẫn đến $f(1)=0$. Lấy $a\in (0;1)$ tùy ý, xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức $u_0=a\in (0;1)$ và $u_{n+1}=\sqrt{(1-u_n{)}^3}$. Ta có,

$${\left(u_n\cdot u_{n+1}\right)}^2=u_n^2\cdot (1-u_n{)}^3\stackrel{\text{AM–GM}}{\le }{\left(\frac{6\sqrt{15}}{125}\right)}^2<{\left(\frac{24}{125}\right)}^2,$$

với mọi $n\in \mathbb{N}$.

Suy ra, $$u_n\cdot u_{n+1}<\frac{24}{125},$$ với mọi $n\in \mathbb{N}$. Khi đó,

$$0<u_1{u}_2\cdots u_n=\{\begin{array}{ll}{u}_1{u}_2\cdots u_{2k}\le {\left(\frac{24}{125}\right)}^k& \text{neˆˊu }n=2k\\ u_1{u}_2\cdots u_{2k}{u}_{2k+1}<u_1{u}_2\cdots u_{2k}\le {\left(\frac{24}{125}\right)}^k& \text{neˆˊu }n=2k+1.\end{array}$$

Suy ra, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{u_1{u}_2\dots u_n}=0$.

Mặt khác, từ định nghĩa hàm $f$, ta có, $f(u_n)$ bị chặn, do đó,

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[(-1{)}^n\cdot \sqrt[3]{u_1{u}_2\dots u_n}\cdot f(u_n)\right]=0.$$

Theo kết quả câu a), ta có, $f(a)=(-1{)}^n\cdot \sqrt[3]{u_1{u}_2\dots u_n}\cdot f(u_n)$, dẫn đến, $f(a)=0$ với mọi $a\in (0;1)$. Hơn nữa, do $f(0)=f(1)=0$ nên $f(x)=0$ với mọi $x\in [0;1]$.