Cho tam giác $ABC$ $(AC<BC)$ có đường phân giác $AD$ $(D\in BC)$. Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $\widehat{ACK}=\widehat{AEC}$. Giả sử $CD=CE$.

a) Chứng minh rằng $DA=DB$.

b) Gọi $J$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $CA=CJ$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $L$ là giao điểm của $DK$ và $AJ$, $M$ là giao điểm của $CL$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$, $G$ là giao điểm của $IM$ và $AB$. Chứng minh rằng các điểm $B,L,D,M,G$ cùng thuộc một đường tròn.

a) Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng của $A$ qua $C$.



Ta để ý rằng tứ giác $AD{A}^{\prime }E$ là hình bình hành, và $B{A}^{\prime }\parallel CK$, do đó biến đổi góc thì

$$\widehat{B{A}^{\prime }C}=\widehat{ACK}=\widehat{AEC}=\widehat{C{A}^{\prime }D},$$

suy ra $C{A}^{\prime }$ tiếp xúc với $(BD{A}^{\prime })$, do đó $C{A}^2=C{A}^{\prime 2}=CD\cdot CB$.

Ta suy ra $CA$ tiếp xúc với $(BDA)$, do đó $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}=\widehat{ABD}$, suy ra $DA=DB$.

b) Trước hết, ta biến đổi góc thì

$$\widehat{JAD}=\widehat{CAJ}-\widehat{CAD}=\widehat{CJA}-\widehat{ABD}=\widehat{JAB},$$

suy ra $AL$ là tia phân giác của $\widehat{DAB}$.

Do $DK$ cũng là tia phân giác của $\widehat{ADB}$ nên $L$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ADB$, do đó $B,L,I$ thẳng hàng.

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f2]

Ta có

$$\widehat{CDL}=180^{\circ }-\widehat{KDB}=90^{\circ }+\widehat{ABD}=90^{\circ }+\widehat{BAD}=90^{\circ }+\frac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{BIC}=\widehat{BMC},$$

suy ra $B,L,D,M$ đồng viên.

Ta cũng có $\widehat{GML}=\widehat{IMC}=\widehat{IBC}=\widehat{ABI}=\widehat{GBL}$, suy ra $B,L,M,G$ đồng viên.

Do đó năm điểm $B,L,D,M,G$ cùng thuộc một đường tròn.