Cho $n\ge 2$ là số nguyên dương. Xét các đa thức $f(x),g(x),h(x)$ hệ số thực có bậc không vượt quá $n$. Một số thực $x_0$ được gọi là tốt nếu các giá trị $f(x_0),g(x_0),h(x_0)$ tạo thành một cấp số cộng theo một thứ tự bất kì nào đó. Giả sử rằng chỉ có hữu hạn số tốt như vậy.

a) Chứng minh rằng số lượng số tốt không vượt quá $3n$.

b) Hãy xây dựng bộ ba đa thức $f(x),g(x),h(x)$ thoả mãn có $3n$ số tốt.

a) Xét các đa thức

$$a(x)=g(x)+h(x)-2f(x),$$
$$b(x)=h(x)+f(x)-2g(x),$$
$$c(x)=f(x)+g(x)-2h(x),$$

và xét $P(x)=a(x)b(x)c(x)$. Khi đó $x$ là số tốt khi và chỉ khi $P(x)=0$.

Do có hữu hạn số tốt nên $P(x)$ là đa thức khác 0. Do $a(x),b(x),c(x)$ có bậc không quá $n$ nên đa thức $P(x)$ có bậc không quá $3n$.

Do vậy đa thức $P(x)$ có không quá $3n$ nghiệm thực, hay có tối đa $3n$ số tốt.

b) Xét $Q(x)=(x-1)(x-2)\dots (x-n)$. Đa thức này có $n$ nghiệm thực phân biệt là $1,2,\dots ,n$.

Do $Q(i)=Q(i+1)$ nên tồn tại $x_i$ thuộc $(i;i+1)$ sao cho $Q^{\prime }(x_i)=0$ với mọi $i=1,2,\dots ,n-1$. Đặt $m={\min }_{i=1,n-1}(|y(x_i)|)$. Xét $c\in (0,m)$ thì

- phương trình $Q(x)=c$ có đủ $n$ nghiệm thực phân biệt,
- do $-c\in (-m,0)$, phương trình $Q(x)=-c$ cũng có đủ $n$ nghiệm thực phân biệt.

Chọn các đa thức $f(x)=\frac{3Q(x)-c}{3}$, $g(x)=\frac{c-3Q(x)}{3}$, $h(x)=0$ thì các đa thức $a(x)=Q(x)+c$, $b(x)=-2Q(x)$ và $c(x)=Q(x)-c$ đều có $n$ nghiệm thực phân biệt. Do đó, bộ ba đa thức $f,g,h$ này thỏa mãn bài toán.