Có 7 điểm phân biệt được đánh dấu từ 0 đến 6. Một con châu chấu xuất phát từ điểm khác 0 và thực hiện $n-1$ lần nhảy đến $n$ vị trí. Châu chấu có thể nhảy đến ô khác hoặc nhảy lên rồi đáp xuống vị trí mà châu chấu đang đứng, tuy nhiên châu chấu không thể nhảy từ vị trí 2 đến vị trí 0 hoặc từ vị trí 2 đến vị trí 6. Một hành trình được định nghĩa là vị trí của châu chấu qua các bước nhảy. Gọi $u_n$ là số hành trình khác nhau của châu chấu sau $n$ bước nhảy.

a) Tìm công thức truy hồi của dãy $(u_n)$.

b) Chứng minh rằng $u_{2026}\cdot u_{2028}$ là tổng của 2 số chính phương.

a) Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $a_n$ là số hành trình mà châu chấu kết thúc tại điểm 2, $b_n$ là số hành trình châu chấu kết thúc tại điểm khác 2. Khi đó $u_n=a_n+b_n$.

Với $n=1$, ta được $a_n=1,b_n=5$.

Xét hành trình có độ dài $n+1$.

- Nếu bước thứ $n$ châu chấu nhảy đến điểm số 2 thì có $a_n$ hành trình thỏa mãn. Châu chấu có 4 cách để nhảy đến điểm khác 2 và có 1 cách để nhảy đến điểm số 2.

- Nếu bước thứ $n$ không phải là điểm số 2 thì có $b_n$ hành trình thỏa mãn. Châu chấu có 6 cách để nhảy đến điểm khác 2 và có 1 cách để nhảy đến điểm số 2.

Do đó $a_{n+1}=a_n+b_n$ và $b_{n+1}=4a_n+6b_n$ với mọi $n\ge 1$.

Để ý rằng $a_{n+1}=a_n+b_n=u_n$ và $b_n=a_{n+1}-a_n$ nên với mọi $n\ge 1$ thì

$$u_{n+2}=a_{n+2}+b_{n+2}$$
$$=(a_{n+1}+b_{n+1})+(4a_{n+1}+6b_{n+1})$$
$$=u_{n+1}+(4a_{n+1}+6(a_{n+2}-a_{n+1}))$$
$$=u_{n+1}+(6a_{n+2}-2a_{n+1})$$
$$=u_{n+1}+6u_{n+1}-2u_n$$
$$=7u_{n+1}-2u_n.$$

Ta tính được $a_2=6,b_2=34$, do đó $u_2=a_2+b_2=40$.

Vậy dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=6,u_2=40$ và $u_{n+2}=7u_{n+1}-2u_n$ với mọi $n\ge 1$.

b) Với $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, đặt $v_n=u_{n+1}^2-u_n{u}_{n+2}$. Khi đó, với mọi số nguyên dương $n$,

$$v_{n+1}=u_{n+2}^2-u_{n+1}{u}_{n+3}$$
$$=u_{n+2}(7u_{n+1}-2u_n)-u_{n+1}(7u_{n+2}-2u_{n+1})$$
$$=2u_{n+1}^2-2u_n{u}_{n+2}$$
$$=2v_n.$$

Ta suy ra $v_n=2^{n-1}{v}_1=2^{n-1}(u_2^2-u_1{u}_3)=-2^{n+2}$ với mọi số nguyên dương $n$.

Do đó $u_{2027}^2-u_{2026}{u}_{2028}=-2^{2028}$, suy ra $u_{2026}{u}_{2028}=u_{2027}^2+2^{2028}$ là tổng của hai số chính phương.