Cho hàm số $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}$ $(x\ne 0)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. a) Đúng vì phép chia đa thức cho đúng kết quả đó. b) Sai: ${\left(x^2+x+\ln x\right)}^{\prime }=2x+1+\frac{1}{x}$ chỉ đúng khi $x>0$ (do $\ln x$ chỉ xác định với $x>0$), trong khi tập xác định của $f$ là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$; với $x<0$ thì $F$ không phải nguyên hàm của $f$. c) Đúng: $\int f(x)dx=\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$ (trên mỗi khoảng xác định). d) Đúng: $F(1)=1+1+\ln 1+C=3\Rightarrow C=1$, nên $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$. Kết quả khớp bảng HD chấm đề 101: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia từng số hạng: $\frac{2x^2}{x}+\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$, đúng với $x\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, nên không phải nguyên hàm của $f$ trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (với $x<0$, $F$ không tồn tại).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, đúng trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ hoặc $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$; suy ra $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.