Cho hàm số $f(x)=\frac{2x-m}{x+2}$ ($m$ là tham số). Để ${\min }_{x\in [-1;1]}f(x)=\frac{1}{3}$ thì $m=\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N},b>0$). Tổng $a+b$ bằng

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{4+m}{(x+2{)}^2}$. Trường hợp 1: Với $m<-4$ thì $f^{\prime }(x)<0$, khi đó ${\min }_{x\in [-1;1]}f(x)=f(1)=\frac{2-m}{3}=\frac{1}{3}\iff m=1$ (loại). Trường hợp 2: Với $m=-4$ thì $f(x)=2$ không thỏa mãn. Trường hợp 3: Với $m>-4$ thì $f^{\prime }(x)>0$, khi đó ${\min }_{x\in [-1;1]}f(x)=f(-1)=-2-m=\frac{1}{3}\iff m=-\frac{7}{3}$ (thỏa mãn). Suy ra $a=-7,b=3\Rightarrow a+b=-4$.