Cho hàm số $f(x)={\log }_3(5x-3)$.

a) Phương trình dao động điều hoà của một vật tại thời điểm $t$ giây được cho bởi công thức $x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$, trong đó $x(t)$ (cm) là li độ của vật tại thời điểm $t$ giây, $A$ là biên độ dao động $(A>0)$ và $\phi \in [-\pi ;\pi ]$ là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hoà có phương trình lần lượt là:

$$x_1(t)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)(cm)\text{ vaˋ }{x}_2(t)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)(cm)$$

Xác định biên độ dao động và pha ban đầu của dao động tổng hợp $x(t)=x_1(t)+x_2(t)$.

b) Cho hai số thực không âm $x,y$ thoả mãn $x^2+4x-y+3={\log }_2\frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}$. Chứng minh rằng $2y=2x^2+8x+5$, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=e^{2x-1}+4x^2+4x-2y-3$.

c) Thống kê chiều cao (đơn vị cm) của các bạn học sinh nam khối 12 ở Trường Trung học phổ thông A người ta thu được bảng sau:



Trong số những học sinh trên, Trường Trung học phổ thông A muốn chọn 25\% các bạn có chiều cao cao hơn các bạn còn lại để tham gia phục vụ đại hội thể dục thể thao của xã. Hỏi các bạn được chọn có chiều cao từ bao nhiêu cm trở lên?

Cho lục giác đều $ABCDEF$ cạnh $a$ có tâm $O$. Tính giá trị $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE}\right|$.

Cho lục giác đều $ABCDEF$ cạnh $a$ có tâm $O$. Tính giá trị $\left|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CD}\right|$.

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y={\log }_5(2x+6)$.

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y={\log }_5(2x-6)$.

Nhà Nam có một ao cá dạng hình chữ nhật $MNPQ$ với chiều dài $MQ=30m$, chiều rộng $MN=20m$. Phần tam giác $QST$ là nơi nuôi ếch, $MS=8m,PT=10m$ (với $S$, $T$ lần lượt là các điểm nằm trên cạnh $MQ,PQ$) (xem hình bên dưới).



Nam đứng ở vị trí $N$ câu cá và quăng lưới câu về phía nuôi ếch. Hỏi Nam quăng lưới câu xa hơn bao nhiêu mét để lưới câu rơi vào nơi nuôi ếch? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).