Cho hàm số $f(x)=3^x-3^{-x}$. Gọi $m_1,m_2$ là các giá trị thực của tham số $m$ để $f(3{\log }_{2}m)+f({\log }_2^{2}m+2)=0$. Tính $T=m_1\cdot m_2$.

Hàm số $f(x)=3^x-3^{-x}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(3^x+3^{-x})\ln 3>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đồng thời $f(-x)=-f(x)$, nên $f$ là hàm lẻ. Do đó $f(u)+f(v)=0⟺f(u)=-f(v)=f(-v)⟺u=-v⟺u+v=0$. Áp dụng với $u=3{\log }_{2}m$ và $v={\log }_2^{2}m+2$ ($m>0$): ${\log }_2^{2}m+3{\log }_{2}m+2=0⟺{\log }_{2}m=-1$ hoặc ${\log }_{2}m=-2⟺m_1=\frac{1}{2},m_2=\frac{1}{4}$. Khi đó $T=m_1\cdot m_2=\frac{1}{8}$. Chọn B.