Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng như hình vẽ bên. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $[2;4]$ bằng $6$.

a) Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (1;+\infty )$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $(1;+\infty )$. Sai.
b) Vì $f(x)$ nghịch biến trên $[2;4]$ nên ${\min }_{[2;4]}f(x)=f(4)=6$, suy ra $f(2)>6$. Sai.
c) Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}=1\Rightarrow d=-c$. Chọn $c=1,d=-1$, ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-a-b}{(x-1{)}^2}$. Do $f^{\prime }(0)=-3$ nên $a+b=3\Rightarrow \frac{a+b}{2c-d}=\frac{3}{3}=1$. Đúng.
d) Kết hợp $f(4)=\frac{4a+b}{3}=6\Rightarrow 4a+b=18$, giải được $a=5,b=-2\Rightarrow f(x)=\frac{5x-2}{x-1}=5+\frac{3}{x-1}$. Đồ thị có $4$ điểm nguyên ứng với $x-1\in \{\pm 1;\pm 3\}$. Đúng.