Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& \text{khi }x>1\\ ax+1& \text{khi }x\le 1\end{array}$ (với $a$ là tham số).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Với $x\le 1$, $f(x)=ax+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$, do đó ý a) Sai (không phải $-a+1$). Với $x>1$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ (ý d) Đúng). Hàm liên tục tại $x=1$ khi $a+1=2\iff a=1$ (ý b) Đúng). Khi đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ tồn tại khi $a=1$, không đúng với mọi $a$, nên ý c) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1105: S, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\le 1$ thì $f(x)=ax+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a\cdot 1+1=a+1\ne -a+1$ (trừ khi $a=0$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$ yêu cầu ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức $a+1=2\iff a=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái là $a+1$ phụ thuộc $a$; giới hạn hai bên chỉ bằng nhau (bằng 2) khi $a=1$, nên khẳng định đúng với mọi $a$ là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1+1=2$.