Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^2-2x+\frac{3}{2}$ và $f(0)=0$. Có bao nhiêu số nguyên $m\in (-2021;2022)$ để hàm số $g(x)=|f^2(x)+2f(x)+m|$ có đúng $3$ điểm cực trị?

Ta có $f(x)=\int \left(\frac{1}{2}{x}^2-2x+\frac{3}{2}\right)dx=\frac{x^3}{6}-x^2+\frac{3}{2}x+C$.
Vì $f(0)=0\Rightarrow C=0$, do đó $f(x)=\frac{x^3}{6}-x^2+\frac{3}{2}x$.

Đặt $h(x)=f^2(x)+2f(x)+m$.
Ta có $h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)(f(x)+1)$.
$h^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=0\\ & f(x)=-1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=1\text{ hoặc }x=3\\ & x=a\approx -0.4920\end{array}$.

Xét biến thiên của $h(x)$:
- $h^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua các nghiệm đơn $a,1,3$.
- $h(a)=(-1{)}^2+2(-1)+m=-1+m$.
- $h(1)={\left(\frac{2}{3}\right)}^2+2\left(\frac{2}{3}\right)+m=\frac{16}{9}+m$.
- $h(3)=0^2+2(0)+m=m$.

Bảng biến thiên của $h(x)$ có 3 điểm cực trị. Hàm số $g(x)=|h(x)|$ có số điểm cực trị bằng số điểm cực trị của $h(x)$ cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $h(x)=0$.
Để $g(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị thì phương trình $h(x)=0$ không có nghiệm bội lẻ, tức đồ thị $h(x)$ không cắt trục hoành:
$\min h(x)=h(a)=-1+m\ge 0\iff m\ge 1$.
Kết hợp với điều kiện $m\in (-2021;2022)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{1;2;\dots ;2021\}$.
Vậy có $2021$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.