Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x+4$, trục hoành và trục tung. Đường thẳng $d$ qua $A(0;4)$ và có hệ số góc $k$ ($k\in \mathbb{R}$) chia hình $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của $k$ bằng

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành: $x^2-4x+4=0\iff x=2$.
Diện tích của hình phẳng $(H)$ là:
$S={\int }_0^2(x^2-4x+4)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right){|}_0^2=\frac{8}{3}-8+8=\frac{8}{3}$.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(0;4)$ với hệ số góc $k$ là $y=kx+4$.
Đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại $B\left(-\frac{4}{k};0\right)$.
Để đường thẳng $d$ cắt $(H)$ thành hai phần thì điểm $B$ phải thuộc đoạn $(0;2)$, tức là:
$0<-\frac{4}{k}<2\iff k<-2$.

Phần hình phẳng $S_1$ giới hạn bởi trục tung, $d$ và trục hoành là tam giác vuông $OAB$:
$S_1=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(-\frac{4}{k}\right)=-\frac{8}{k}$.
Vì $d$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau nên:
$S_1=\frac{S}{2}=\frac{4}{3}\iff -\frac{8}{k}=\frac{4}{3}\iff k=-6$ (thỏa mãn $k<-2$).