Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2,AD=2\sqrt{3}$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ bằng $3$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SH\perp AB\Rightarrow SH\perp (ABCD)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, suy ra $HM\perp CD$ và $HM=AD=2\sqrt{3}$.
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó:
$d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(H,(SCD))$.
Kẻ $HK\perp SM$ tại $K$.
Vì $CD\perp HM$ và $CD\perp SH$ nên $CD\perp (SHM)\Rightarrow (SCD)\perp (SHM)$.
Do đó $HK\perp (SCD)$, suy ra $d(H,(SCD))=HK=3$.

Trong tam giác $SHM$ vuông tại $H$ có đường cao $HK$:
$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{M}^2}\iff \frac{1}{3^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{(2\sqrt{3}{)}^2}$
$\iff \frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{9}-\frac{1}{12}=\frac{1}{36}\Rightarrow SH=6$.

Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot AD=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp là: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6=8\sqrt{3}$.