Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2(x^2-4x)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số thực $m$ để hàm số $g(x)=f(2x^2-12x+m)$ có đúng $5$ điểm cực trị?

Hàm số $f(u)$ chỉ đổi dấu đạo hàm tại $u=0$ và $u=4$. Ta có $g^{\prime }(x)=(4x-12)f^{\prime }(2x^2-12x+m)$. Để $g(x)$ có đúng $5$ điểm cực trị thì các phương trình $2x^2-12x+m=0$ và $2x^2-12x+m=4$ đều phải có $2$ nghiệm phân biệt khác $3$, tức là $\min (2x^2-12x+m)=m-18<0⟺m<18$. Do $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2;\dots ;17\}$ ($17$ giá trị).