Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f^{\prime }(x)-3f(x)=(2x^2+1)e^{x^2+3x-1},\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(2)=2e^9$. Biết $f(1)=a{e}^b$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Hệ thức nào sau đây đúng?

Nhân hai vế với $e^{-3x}$: $[e^{-3x}f(x){]}^{\prime }=(2x^2+1)e^{x^2-1}$. Lấy tích phân từ 1 đến 2 và sử dụng điều kiện $f(2)=2e^9$, ta tìm được $f(1)=1\cdot e^3$. Khi đó $a=1,b=3$. Hệ thức đúng là $a+3b=1+3(3)=10$.


Chọn C.