Có bao nhiêu số nguyên $m$ để bất phương trình ${\log }_2\frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}<x^2-5x+2-m$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$?

Ta có $2x^2-x+1>0,\forall x$. Bất phương trình tương đương: ${\log }_2(3x^2+3x+m+1)+(3x^2+3x+m+1)<{\log }_2(2x^2-x+1)+2(2x^2-x+1)$. Xét tính đơn điệu của hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$, ta suy ra $3x^2+3x+m+1<4x^2-2x+2\iff x^2-5x+1-m>0,\forall x$. Điều kiện $\Delta =25-4(1-m)<0\iff 4m<-21\iff m<-\frac{21}{4}=-5.25$. Đồng thời điều kiện $3x^2+3x+m+1>0,\forall x\iff {\Delta }_1=9-12(m+1)<0\iff 12m>-3\iff m>-\frac{1}{4}$. Hai điều kiện $m<-5.25$ và $m>-0.25$ mâu thuẫn nhau, do đó không có số nguyên $m$ nào thỏa mãn. Chọn B.