Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục và không âm trên $[1;4]$ đồng thời thỏa mãn điều kiện $x+2xf(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$ và $f(1)=\frac{3}{2}$. Tính ${\int }_1^{4}f(x)dx$.