Cho phương trình $2{\log }_3(\cot x)={\log }_2(\cos x)$. Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2}\right)$?

Chọn B.
Điều kiện: $\cos x>0$ và $\cot x>0⟺\sin x>0$ và $\cos x>0$, tức là $x$ thuộc góc phần tư thứ nhất: $x\in \left(k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$.
Đặt $t={\log }_2(\cos x)=2{\log }_3(\cot x)⟹\cos x=2^t$ và $\cot x=3^{\frac{t}{2}}$.
Vì $\cos x\in (0;1)$ nên $t<0$.
Ta có $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\cot }^{2}x=1+3^t⟹{\sin }^{2}x=\frac{1}{1+3^t}$.
Lại có ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1⟹4^t+\frac{1}{1+3^t}=1$.
Xét hàm số $f(t)=4^t+\frac{1}{1+3^t}$ trên $(-\infty ;0)$:
Ta thấy $f(t)$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$, và $f(-1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{1+1/3}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.
Do đó nghiệm duy nhất là $t=-1⟹\cos x=2^{-1}=\frac{1}{2}$.
Vì $\sin x>0$ nên $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$.
Xét trên khoảng $\left(\frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2}\right)=(0,167\pi ;4,5\pi )$:
Các nghiệm thỏa mãn là $x=\frac{\pi }{3}$ ($k=0$), $x=\frac{7\pi }{3}$ ($k=1$), và $x=\frac{13\pi }{3}=4\frac{1}{3}\pi <4,5\pi$ ($k=2$).
Vậy có đúng 3 nghiệm trên khoảng đã cho.