Cho hàm số $f(x)$ có $f(\sqrt{2})=-2$ và $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}},\forall x\in \mathbb{R}$. Biết ${\int }_1^{\sqrt{7}}x\cdot f(x)dx=\frac{a\sqrt{3}+b}{c}$, với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản. Tính $P=a+b+c$.

Ta có $f(x)=\int f^{\prime }(x)dx=\int \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}dx=\sqrt{x^2+2}+C$.
Vì $f(\sqrt{2})=-2\Rightarrow \sqrt{2+2}+C=-2\Rightarrow C=-4$.
Do đó $f(x)=\sqrt{x^2+2}-4$.
Tính tích phân $I={\int }_1^{\sqrt{7}}x(\sqrt{x^2+2}-4)dx$. Đặt $u=\sqrt{x^2+2}\Rightarrow udu=xdx$. Đổi cận: $x=1\Rightarrow u=\sqrt{3}$; $x=\sqrt{7}\Rightarrow u=3$.
$I={\int }_{\sqrt{3}}^3(u-4)udu={\left[\frac{u^3}{3}-2u^2\right]}_{\sqrt{3}}^3=(9-18)-(\sqrt{3}-6)=-3-\sqrt{3}=\frac{-3\sqrt{3}-9}{3}.$
So sánh với $\frac{a\sqrt{3}+b}{c}$, ta có $a=-3,b=-9,c=3$ (hoặc rút gọn phân số tối giản $\frac{-\sqrt{3}-3}{1}$ thì $a=-1,b=-3,c=1\dots$ tương ứng $P=a+b+c=-15$). Chọn đáp án B.