Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình bên:

[IMAGE:q39-fig1.png]

Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=2f(x)-(x+1{)}^2$ trên đoạn $[-3;3]$ bằng

Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)-2(x+1)=2[f^{\prime }(x)-(x+1)]$.
Phương trình $g^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(x)=x+1$.
Vẽ đường thẳng $d:y=x+1$ đi qua các điểm $(-3;-2),(1;2),(3;4)$.
Từ đồ thị, trên $(-3;1)$ thì đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía trên đường thẳng $y=x+1⟹g^{\prime }(x)>0$.
Trên $(1;3)$ thì đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới đường thẳng $y=x+1⟹g^{\prime }(x)<0$.
Do đó hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(-3;1)$ và nghịch biến trên $(1;3)$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên $[-3;3]$ đạt tại $x=1$, bằng $g(1)=2f(1)-(1+1{)}^2=2f(1)-4$.