Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có ${\int }_0^{3}f(x)dx=8$ và ${\int }_0^{5}f(x)dx=4$. Tính ${\int }_{-1}^{1}f(|4x-1|)dx$.

Ta có: $I={\int }_{-1}^{1}f(|4x-1|)dx={\int }_{-1}^{1/4}f(1-4x)dx+{\int }_{1/4}^{1}f(4x-1)dx$.
- Với tích phân thứ nhất, đặt $u=1-4x⟹du=-4dx$. Khi $x=-1⟹u=5$; khi $x=1/4⟹u=0$.
Do đó ${\int }_{-1}^{1/4}f(1-4x)dx=-\frac{1}{4}{\int }_5^{0}f(u)du=\frac{1}{4}{\int }_0^{5}f(u)du=\frac{1}{4}\times 4=1$.
- Với tích phân thứ hai, đặt $v=4x-1⟹dv=4dx$. Khi $x=1/4⟹v=0$; khi $x=1⟹v=3$.
Do đó ${\int }_{1/4}^{1}f(4x-1)dx=\frac{1}{4}{\int }_0^{3}f(v)dv=\frac{1}{4}\times 8=2$.
Vậy $I=1+2=3$.