Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a,SA=2a$. Tính sin của góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD)$.
Ta có $BD\perp AC$ và $BD\perp SO⟹BD\perp (SAC)$ tại $O$.
Do đó, hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(SAC)$ là điểm $O$.
Suy ra góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là góc $\widehat{BSO}$.
Trong tam giác vuông $SOB$ tại $O$, ta có: $\sin \widehat{BSO}=\frac{OB}{SB}$.
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $BD=a\sqrt{2}⟹OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Lại có $SB=SA=2a$. Do đó $\sin \widehat{BSO}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.