Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x-5y+2z+8=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=7+5t\\ y=-7+t\\ z=6-5t\end{array}(t\in \mathbb{R})$. Tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đối xứng với đường thẳng $d$ qua mặt phẳng $(P)$.

Đường thẳng $d$ có VTCP ${\vec{u}}_d=(5;1;-5)$ và đi qua điểm $M(7;-7;6)$.
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(3;-5;2)$.
Ta có ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{n}}_P=5\cdot 3+1\cdot (-5)+(-5)\cdot 2=15-5-10=0$, và thay tọa độ điểm $M$ vào $(P)$: $3(7)-5(-7)+2(6)+8=76\ne 0$, nên $d\parallel (P)$.
Do đó đường thẳng $\Delta$ đối xứng với $d$ qua $(P)$ sẽ song song với $d$ nên có VTCP ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{u}}_d=(5;1;-5)$.
Gọi $M^{\prime }$ là điểm đối xứng của $M(7;-7;6)$ qua $(P)$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $(P)$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=7+3k\\ y=-7-5k\\ z=6+2k\end{array}$.
Tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên $(P)$ ứng với $3(7+3k)-5(-7-5k)+2(6+2k)+8=0⟺38k+76=0⟺k=-2$.
Điểm đối xứng $M^{\prime }$ ứng với $k^{\prime }=2k=-4$, suy ra tọa độ $M^{\prime }=(7+3(-4);-7-5(-4);6+2(-4))=(-5;13;-2)$.
Vậy phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\{\begin{array}{l}x=-5+5t\\ y=13+t\\ z=-2-5t\end{array}$.