Cho hàm số $f(x)=\frac{mx+8}{x+2m}$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty )$?

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Đạo hàm của hàm số:
$$f^{\prime }(x)=\frac{2m^2-8}{(x+2m{)}^2}.$$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)<0,\forall x\in (1;+\infty )\\ -2m\notin (1;+\infty )\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2m^2-8<0\\ -2m\le 1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<m<2\\ m\ge -\frac{1}{2}\end{array}⟺-\frac{1}{2}\le m<2.$$
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{0;1\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.