Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}$ $(x\ne 0)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.
e) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$ → Sai.
f) $\int f(x)dx=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$. Vậy $F(x)=x^2-x-\ln x$ không phải nguyên hàm của $f(x)$ (hệ số của $x^2$ phải là $\frac{1}{2}$) → Sai.
g) Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$ → Sai.
h) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$: $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Suy ra $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$ → Sai.
Kết quả: e) Sai; f) Sai; g) Sai; h) Sai, khớp với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$; $F(x)=x^2-x-\ln x$ có đạo hàm $2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, nên $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, mệnh đề sai.