Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. a) Trên $(-1;+\infty )$: với $-1<x<0$ thì $(x+1{)}^2<1$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>0$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$ → Sai. b) Vì bậc tử cao hơn bậc mẫu 1 bậc và $f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x+1$ → Đúng. c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; trên $(-1;+\infty )$ hàm nghịch biến rồi đồng biến với điểm chuyển $x=0$, $f(0)=2$, nên điểm cực tiểu là $(0;2)$ → Đúng. d) Đặt $t=x+1\ne 0$, $|f(x)|=5\iff t+\frac{1}{t}=\pm 5$. Với $t+\frac{1}{t}=5$: $t^2-5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 (vì $\Delta =21>0$, tích nghiệm 1). Với $t+\frac{1}{t}=-5$: $t^2+5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Tổng cộng 4 nghiệm phân biệt → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $-1<x<0$, $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$, do đó không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ (trên khoảng $(-1;+\infty )$), hàm đổi chiều từ nghịch biến sang đồng biến, $f(0)=2$, nên điểm cực tiểu là $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x+1\ne 0$: $t+\frac{1}{t}=5$ cho $t^2-5t+1=0$ (2 nghiệm), $t+\frac{1}{t}=-5$ cho $t^2+5t+1=0$ (2 nghiệm); cả 4 nghiệm đều khác 0 và phân biệt, nên phương trình có đúng 4 nghiệm.