Cho hàm số $f(x)=|x^3-(2m-5)x+2018|$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-2019;2019]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$?

Xét hàm số $g(x)=x^3-(2m-5)x+2018$, có $g^{\prime }(x)=3x^2-(2m-5)$.
Hàm số $y=|g(x)|$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$ thì đồ thị trong khoảng $(1;3)$ có dạng như sau:



Trường hợp 1: $g(x)$ đồng biến và không âm trên $(1;3)$: $\{\begin{array}{l}g(1)\ge 0\\ g^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (1;3)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2024-2m\ge 0\\ 2m\le 3x^2+5,\forall x\in (1;3)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\le 1012\\ m\le 4\end{array}\iff m\le 4$.
Trường hợp 2: $g(x)$ nghịch biến và không dương trên $(1;3)$: $\{\begin{array}{l}g(1)\le 0\\ g^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (1;3)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2024-2m\le 0\\ 2m\ge 3x^2+5,\forall x\in (1;3)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 1012\\ m\ge 16\end{array}\iff m\ge 1012$.
Kết hợp $m\in [-2019;2019]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in [-2019;4]\cup [1012;2019]$, có $(4-(-2019)+1)+(2019-1012+1)=2024+1008=3032$ giá trị nguyên.