Cho hàm số $f(x)=x^3-3m{x}^2+3(m^2-1)x-m^2+1$ với $m$ là tham số thực. Tìm $m$ để hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6mx+3(m^2-1)=3(x^2-2mx+m^2-1)=3[(x-m{)}^2-1]$.
Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ thì $f^{\prime }(1)=0\iff (1-m{)}^2-1=0\iff m(m-2)=0\iff m=0$ hoặc $m=2$.
Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6x-6m$.
- Với $m=0$: $f^{\prime \prime }(1)=6>0\Rightarrow x=1$ là điểm cực tiểu (thỏa mãn).
- Với $m=2$: $f^{\prime \prime }(1)=6(1-2)=-6<0\Rightarrow x=1$ là điểm cực đại (loại).
Vậy $m=0$.