Cho hàm số $f(x)=x^3-(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$?

Chọn C.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-2(m+1)x-(2m^2-3m+2)$.
Để hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (2;+\infty )$.
Ta có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2+3(2m^2-3m+2)=m^2+2m+1+6m^2-9m+6=7m^2-7m+7=7(m^2-m+1)>0,\forall m$.
Do đó phương trình $f^{\prime }(x)=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1<x_2$.
Để $f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x>2$ thì $x_1<x_2\le 2$.
Điều kiện tương đương là:
$\{\begin{array}{l}af(2)\ge 0\\ \frac{S}{2}<2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(2)\ge 0\\ \frac{m+1}{3}<2\end{array}$.
Ta có: $f^{\prime }(2)=3(4)-4(m+1)-(2m^2-3m+2)=12-4m-4-2m^2+3m-2=-2m^2-m+6$.
Bất phương trình $f^{\prime }(2)\ge 0⟺2m^2+m-6\le 0⟺(2m-3)(m+2)\le 0⟺-2\le m\le \frac{3}{2}$.
Và điều kiện đỉnh: $\frac{m+1}{3}<2⟺m<5$.
Kết hợp lại ta được: $-2\le m\le \frac{3}{2}$.
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{-2,-1,0,1\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa mãn.