Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a,AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SG$ và $BC$ bằng

Chọn A.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trong mặt phẳng $(SAM)$, dựng đường thẳng qua $M$ song song với $SG$ cắt đường thẳng $SA$ kéo dài tại $S^{\prime }$. Khi đó $S^{\prime }M\parallel SG$, suy ra $SG\parallel (S^{\prime }BC)$.
Do đó $d(SG,BC)=d(SG,(S^{\prime }BC))=d(G,(S^{\prime }BC))$.
Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $M,G,A$ thẳng hàng với $AM=3GM⟹d(G,(S^{\prime }BC))=\frac{1}{3}d(A,(S^{\prime }BC))$.
Trong $\Delta S^{\prime }AM$, vì $SG\parallel S^{\prime }M$ và $G$ là trọng tâm nên $\frac{S^{\prime }A}{SA}=\frac{MA}{GA}=\frac{3}{2}⟹S^{\prime }A=\frac{3}{2}SA=3a$.
Kẻ $AH\perp BC$ tại $H$. Vì $S^{\prime }A\perp (ABC)⟹S^{\prime }A\perp BC$, suy ra $BC\perp (S^{\prime }AH)$.
Kẻ $AK\perp S^{\prime }H$ tại $K$, suy ra $AK\perp (S^{\prime }BC)$, do đó $d(A,(S^{\prime }BC))=AK$.
Xét tam giác vuông $ABC$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}⟹AH=\frac{2a}{\sqrt{5}}$.
Xét tam giác vuông $S^{\prime }AH$ tại $A$:
$\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S^{\prime }{A}^2}+\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{9a^2}+\frac{5}{4a^2}=\frac{4+45}{36a^2}=\frac{49}{36a^2}⟹AK=\frac{6a}{7}$.
Do đó $d(SG,BC)=\frac{1}{3}AK=\frac{1}{3}\cdot \frac{6a}{7}=\frac{2a}{7}=\frac{2a}{\sqrt{7}}$? Chú ý đề cho đáp án là $\frac{2a}{\sqrt{7}}$ hoặc $\frac{2a}{7}$. Trong bài giải: $d=\frac{1}{3}AK=\frac{2a}{7}$, chọn phương án tương ứng A.