Cho hàm số $f(x)=|x^4-4x^3+4x^2+a|$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;2]$. Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $[-3;3]$ sao cho $M\le 2m$?

Chọn B.
Xét hàm số $g(x)=x^4-4x^3+4x^2+a$ trên đoạn $[0;2]$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)$.
$g^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right]$.
Ta có: $g(0)=a$, $g(1)=a+1$, $g(2)=a$.
Do đó trên đoạn $[0;2]$, hàm số $g(x)$ có tập giá trị là $[a;a+1]$.
- TH1: $a\ge 0\Rightarrow g(x)\ge 0,\forall x\in [0;2]$. Khi đó $m=a$, $M=a+1$.
Điều kiện $M\le 2m\iff a+1\le 2a\iff a\ge 1$.
Vì $a\in [-3;3]$ và $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \{1;2;3\}$.
- TH2: $a+1\le 0\iff a\le -1\Rightarrow g(x)\le 0,\forall x\in [0;2]$. Khi đó $m=-a-1$, $M=-a$.
Điều kiện $M\le 2m\iff -a\le 2(-a-1)\iff -a\le -2a-2\iff a\le -2$.
Vì $a\in [-3;3]$ và $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \{-3;-2\}$.
- TH3: $-1<a<0$. Khi đó $g(x)$ đổi dấu trên $[0;2]$ nên $m=\min |g(x)|=0$. Để $M\le 2m=0\Rightarrow M=0$, vô lý vì $g(1)-g(0)=1>0$.
Kết hợp lại, $a\in \{-3;-2;1;2;3\}$. Vậy có 5 giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn.