Cho hình trụ $T$ có bán kính đáy $R^{\prime }=\frac{2\sqrt{2}R}{\sqrt{5}}$ và chiều cao cũng bằng $h=\frac{2\sqrt{2}R}{\sqrt{5}}$. Một hình vuông $ABCD$ có hai cạnh $AB$ và $CD$ lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh $AD$ và $BC$ không phải là đường sinh của hình trụ $T$. Tính diện tích của hình vuông $ABCD$.

Chọn A.
Gọi $O,O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy của hình trụ. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn nối tâm $O{O}^{\prime }$.
Kẻ đường kính $C{C}^{\prime }$. Do tính đối xứng nên $I$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông $ABCD$.
Ta có: $C{C}^{\prime }=2R^{\prime }=2\cdot \frac{2\sqrt{2}R}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}R}{\sqrt{5}}$ và $A{C}^{\prime }=h=\frac{2\sqrt{2}R}{\sqrt{5}}$.
Tam giác $AC{C}^{\prime }$ vuông tại $C^{\prime }$, do đó:
$A{C}^2=C^{\prime }{A}^2+C^{\prime }{C}^2={\left(\frac{2\sqrt{2}R}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(\frac{4\sqrt{2}R}{\sqrt{5}}\right)}^2=\frac{8R^2}{5}+\frac{32R^2}{5}=\frac{40R^2}{5}=8R^2$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên diện tích của nó là:
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}A{C}^2=\frac{1}{2}\cdot 8R^2=4R^2$.