Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh $a$. Gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $D{C}^{\prime }$ theo $a$.

Chọn A.
Lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các mặt bên là hình vuông cạnh $a$ nên đây là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh $a$.
Gọi $D^{\prime }$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Do $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $BD=B^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{a}{2}$ nên tứ giác $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình chữ nhật, suy ra $D{C}^{\prime }\parallel B{D}^{\prime }$.
Do đó $D{C}^{\prime }\parallel (A^{\prime }B{D}^{\prime })\Rightarrow d(A^{\prime }B,D{C}^{\prime })=d(D{C}^{\prime },(A^{\prime }B{D}^{\prime }))=d(D,(A^{\prime }B{D}^{\prime }))$.
Vì tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều có $D^{\prime }$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt khác $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\Rightarrow B{B}^{\prime }\perp A^{\prime }{D}^{\prime }$. Do đó $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
Suy ra $(A^{\prime }B{D}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ theo giao tuyến $B{D}^{\prime }$.
Trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, kẻ $DH\perp B{D}^{\prime }$ tại $H\Rightarrow DH\perp (A^{\prime }B{D}^{\prime })$, do đó $d(D,(A^{\prime }B{D}^{\prime }))=DH$.
Tam giác $BD{D}^{\prime }$ vuông tại $D$, có $BD=\frac{a}{2}$ và $D{D}^{\prime }=a$. Ta có:
$\frac{1}{D{H}^2}=\frac{1}{B{D}^2}+\frac{1}{D{D}^{\prime 2}}=\frac{1}{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow DH=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
Vậy $d(A^{\prime }B,D{C}^{\prime })=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.