Cho hàm số $f(x)=|x^4-4x^3+4x^2+m|$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho ${\max }_{[0;2]}f(x)+{\min }_{[0;2]}f(x)=5$. Số phần tử của $S$ là

Chọn D.
Xét hàm số $g(x)=x^4-4x^3+4x^2+m=x^2(x-2{)}^2+m$ trên $[0;2]$.
Ta có $x^2(x-2{)}^2\ge 0$ với mọi $x\in [0;2]$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại $x=0,x=2$.
Đạo hàm $[x(x-2){]}^{\prime }=2x-2=0⟺x=1⟹[1(1-2){]}^2=1$.
Do đó trên $[0;2]$, $\min g(x)=m$ và $\max g(x)=m+1$.
- TH1: $m\ge 0⟹f(x)\ge 0⟹{\min }_{[0;2]}f(x)=m,{\max }_{[0;2]}f(x)=m+1$.
Ta có $m+(m+1)=5⟺2m=4⟺m=2$ (thỏa mãn $m\ge 0$).
- TH2: $m+1\le 0⟺m\le -1⟹f(x)=-g(x)⟹{\min }_{[0;2]}f(x)=-(m+1),{\max }_{[0;2]}f(x)=-m$.
Ta có $-(m+1)-m=5⟺-2m-1=5⟺2m=-6⟺m=-3$ (thỏa mãn $m\le -1$).
- TH3: $-1<m<0⟹{\min }_{[0;2]}f(x)=0$ và ${\max }_{[0;2]}f(x)=\max \{|m|,|m+1|\}\le 1<5$ (không thỏa mãn).
Vậy có đúng 2 giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=2$ và $m=-3$.
Số phần tử của $S$ là 2.