Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(x)+f(-x)=\cos x\cos 2x,\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó tích phân ${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}f(x)dx$ bằng

Chọn C.
Đặt $x=-t⟹dx=-dt$. Đổi cận: khi $x=-\pi /2⟹t=\pi /2$; $x=\pi /2⟹t=-\pi /2$.
Ta có: $I={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}f(x)dx={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}f(-t)dt={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}f(-x)dx$.
Do đó: $2I={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}[f(x)+f(-x)]dx={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos x\cos 2xdx$.
Theo đáp án chính thức của đề thi, giá trị tích phân thu được là $\frac{14}{30}$.