Cho hàm số $g(x)=\sin x+\cos x$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ vì $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sin x+\cos x$. Vậy mệnh đề a đúng. b) Với $x\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ thì $\sin x<0$ và $\cos x<0$ nên $g(x)<0$: đúng. c) $g(x)=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\iff x+\frac{\pi }{4}=k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$ thì $x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4}\right]$, cho $x+\frac{\pi }{4}=\pi$ hoặc $2\pi$, tức $x=\frac{3\pi }{4}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{4}$: đúng 2 nghiệm, mệnh đề đúng. d) Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $\max g(x)=\sqrt{2}\ne 2$: mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x+\cos x=g(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(\pi ;\frac{3\pi }{2})$ cả $\sin x<0$ và $\cos x<0$ nên $g(x)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=0\iff \sin (x+\frac{\pi }{4})=0$ cho $x=\frac{3\pi }{4}$ và $x=\frac{7\pi }{4}$ thuộc $[0;2\pi ]$: đúng 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\max g(x)=\sqrt{2}$, không phải 2.